Monotonicity of the volume of intersection of balls

www.ihes.fr/~gromov/PDF/16[58].pdf

M. Gromov
I.H.E.S.
France

1. 考虑点 $x_i\in\mathbb{R}^n$, $i=1,\ldots,k$, 且设 $B(x_i,r_i)\subset\mathbb{R}^n$ 是以这些点为中心半径为 $r_i\geqslant 0$ 的球. 令
\[
V(x_i,r_i)=\text{Vol}\bigl(\bigcap_{i}B(x_i,r_i)\bigr).
\]

1.A 定理. 若 $k\leqslant n+1$, 则函数 $V$ 关于 $d_{ij}=\|x_i-x_j\|$ 是单调递减的, 也就是说, 若 $k$-元组 $\{x_i\}_{i=1}^{k}$ 和 $\{x\'_i\}_{i=1}^{k}$ 满足 $d_{ij}\geqslant d\'_{ij}$, 则
\[V(x_i,r_i)\leqslant V(x\'_i,r_i).\]

1.B 取一个以原点为中心, 半径为 $r$ 的球面 $S_{r}^{n-1}\subset\mathbb{R}^n$. 并考虑球 $B_i=B(x_i,r_i)$ 与 $S_{r}^{n-1}$ 相交部分的球面体积:
\[
V_{n-1}(x_i,r_i,r)=\text{Vol}\Bigl(S_{r}^{n-1}\cap\bigcap_i B(x_i,r_i)\Bigr).
\]

1.B\' 引理. 设 $k\leqslant n$, 且有 $\mathbb{R}^n$ 中的 $k$-元组 $\{x_i\}_{i=1}^{k}$ 和 $\{x\'_i\}_{i=1}^{k}$ 满足 $\|x_i\|=\|x\'_i\|$, $\forall\ i=1,\ldots,k$, 和 $d_{ij}\geqslant d\'_{ij}$, 则
\[V_{n-1}(x_i,r_i,r)\leqslant V_{n-1}(x\'_i,r_i,r)\]
对所有 $r\geqslant 0$ 和 $r_i\geqslant 0$ 成立.

1. B\'\' 注: 1.B\' 的最重要的情形是当 $\|x_i\|=\|x\'_i\|=r$ 时的情形, 此即 1.A.的球面版本. 注意到 1.B\' 可从 1.A 的球面版本推出, 只要应用 $x_i$ 到球面 $S_r^{n-1}$ 的球面投影, 记像为 $\bar{x}_i$, 而球 $B(x_i,r_i)$ 通过球面投影到 $S_r^{n-1}$ 上的部分可以认为是球 $B(\bar{x}_i,\bar{r}_i)$ 与 $S_r^{n-1}$ 的交. 即
\[
B(\bar{x}_i,\bar{r}_i)\cap S_r^{n-1}=B(x_i,r_i)\cap S_r^{n-1}.
\]

进一步的, 由于 $S_r^{n-1}$ 的几何收敛到 $\mathbb{R}^{n-1}$ 的几何, 1.A 的球面版本推出欧氏版本.

1.C 1.B\' 的证明: 假设 1.B\' 对于给定的 $k$ 和 $n-1$ 成立. 我们证明 1.B\' 对于 $S_r^n\subset\mathbb{R}^{n+1}$ 中的 $k+1$-元组成立. 根据上面的注, 我们可以假设问题中的 $k+1$-元组 $(x_0,x_1,\ldots,x_k)$ 满足 $\|x_i\|=r$, $i=0,1,\ldots,k$. 我们也可以假设所比较的两个 $k+1$-元组 $\{x_i\}_{i=0}^{k}$, $\{x\'_i\}_{i=0}^{k}$ 满足 $x_0=x\'_0$. 现在我们在一个额外的技术性假设下来证明关于 $S_r^n$ 的 1.B\'.

(a) Technical Assumption
\[
\|x_i-x_0\|=\|x\'_i-x_0\|=r\'_i,\quad\forall\ i=1,\ldots,k.
\]

问题中的交集是
\[
S_r^n\cap B(x_0,r_0)\cap\bigcap_{i=1}^{k}B(x_i,r_i)=\bigcup_{t=0}^{r}\Bigl(S^{n-1}(r_t)\cap\bigcap_{i=1}^{k}B(x_i,r_i)\Bigr),
\]
其中 $S^{n-1}(r_t)$ 指球面
\[
S^{n-1}(r_t)=S_r^n\cap B(x_0,t).
\]
由归纳假设,
\[
\text{Vol}_{n-1}\Bigl(S^{n-1}(r_t)\cap\bigcap_{i=1}^{k}B(x_i,r_i)\Bigr)\leqslant\text{Vol}_{n-1}\Bigl(S^{n-1}(r_t)\cap\bigcap_{i=1}^{k}B(x\'_i,r_i)\Bigr)
\]
在假设(a)之下, 通过对 $t$ 积分即得证.
 

2. 将一般情形约化为 (a):

2.A 引理. 设 $\{x_i\}_{i=0}^{k}$, $\{x\'_i\}_{i=0}^{k}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的两个 $k$-元组, $k\leqslant n$. 且满足 $d_{ij}\geqslant d\'_{ij}$. 则存在一个连续的含参 $k$-元组 $\{x_i^t\}_{i=0}^{k}$, 使得 $x_i^0=x_i$, $x_i^1=x\'_i$, 并且 $d_{ij}^{t}$ 关于 $t$ 递减.

证明: $x_i$ 与 $x_j$ 之间的距离 $d_{ij}$ 可以用内积 $\langle x_i,x_j\rangle$ 来代替($d_{ij}=|x_i-x_j|=\sqrt{\langle x_i-x_j,x_i-x_j\rangle}$), 并且相关形变是矩阵 $(\langle x_i,x_j\rangle)_{k\times k}$ 和 $(\langle x\'_i,x\'_j\rangle)_{k\times k}$ 之间的线性同伦(linear homotopy).

由于矩阵 $(1-t)(\langle x_i,x_j\rangle)+t(\langle x\'_i,x\'_j\rangle)$ 对所有 $t\in[0,t]$ 是半正定的(positive semidefinite), 故它代表了某个 $k$-元组 $\{x_i^t\}$, 这些点的相互距离是 $d_{ij}^t$.

证明之小结:
关于 $d_{ij}^t$ 的任意单调同伦可被另一个也是单调(但非严格单调)的同伦逼近, 并且这个同伦在 $[0,1]$ 的每个形如 $\bigl[\frac{\nu}{N},\frac{\nu+1}{N}\bigr]$ 子区间上  has all but one among $d_{ij}^t$ constant in $t$. (这里的 $N$ 的大小取决于逼近的精度要求.)

3. 推论
3.A (Kirszbraun Intersection Property;see[W.W])
设 $x_i,x\'_i\in\mathbb{R}^n$, $i=1,\ldots,k$. 且 $d_{ij}\geqslant d\'_{ij}$, 则
\[
\bigcap_{i}B(x_i,r_i)\neq\emptyset\Rightarrow\bigcap_{i}B(x\'_i,r_i)\neq\emptyset.
\]
证明: 令 $m=\max\{n,k-1\}$. 若 $k\leqslant n+1$, 则 $m=n$. 由 1.A, $V(x_i,r_i)\leqslant V(x\'_i,r_i)$, 也即
\[
\text{Vol}\Bigl(\bigcap_{i=1}^{k}B(x_i,r_i)\Bigr)\leqslant\text{Vol}\Bigl(\bigcap_{i=1}^{k}B(x\'_i,r_i)\Bigr),
\]
若 $\bigcap_{i}B(x_i,r_i)\neq\emptyset$, 则 $\text{Vol}\Bigl(\bigcap_{i=1}^{k}B(x_i,r_i)\Bigr)>0$, 因为 $\bigcap_{i=1}^{k}B(x_i,r_i)$ 仍是开集. 于是推出 $\text{Vol}\Bigl(\bigcap_{i=1}^{k}B(x\'_i,r_i)\Bigr)>0$, 故 $\bigcap_{i}B(x\'_i,r_i)\neq\emptyset$.

3.B 推论.(Kirszbraun; see[W.W])
设 $X$ 和 $Y$ 是(有限维或无穷维的) Hilbert 空间, $X_0\subset X$. 设 $f:X_0\rightarrow Y$ 是一个距离递减的映射. 则 $f$ 可以扩展成为 $X\rightarrow Y$ 的距离递减映射. 进一步的, 对于 Hilbert 球面中的半球面的子集间的映射, 类似的结论也成立.

3.C 设 $e(r)$ 是定义在 $[0,+\infty)$ 上的单调递减函数, 且使得
\[
\int_{0}^{+\infty}|e(r)|<+\infty.
\]
对每个 $x\in\mathbb{R}^n$, 赋予一个函数 $e_x=e_x(y):=e(|x-y|)$.

3.D Slepian inequality. [S] 对上面的 $x_i$ 和 $x\'_i$,
\[
\int_{\mathbb{R}^n}\Pi_i e_{x_i}\leqslant\int_{\mathbb{R}^n}\Pi_i e_{x\'_i}.
\]
证明: 从 1.A 可推出.

Question: Who is the author of 1.A.? My guess is this was known to Archimedes. Undoubtedly the theorem can be located (in the form 3.D as well as 1.A) somewhere in the 17th century.